f(X)=x^(n/x) (n为正实数） 为什么当x取e的时候函数值最大

用微积分比较容易证明

f(X) = x^(n/x) (n为正实数,x ≠ 0）取最大值，等价于：

g(x) = x^ (1/x) 取最大值
两边取自然对数，有：
ln（g（x)) = ln(x) / x ＝ h（x）

考虑到 ln 函数的单调性，g(x) 取最大值等价于 h（x）取最大值

h' = (1 - ln x) / x^2 = 0, 则：
x ＝ e

同时,在x ＝ e时 ， h'' ＜ 0 ，
所以 x ＝ e 时，h（x）取最大值

故，原命题成立。

你的直觉是正确的。我下面的叙述并不能算严格的证明，只是为你提供一种思路。
先考察函数 y=n*ln(x)/x (n为正实数）
x的定义域显然为0<x<+∞
求y=n*ln(x)/x在其定义域上的极值
令y'=[n*ln(x)/x ]'=0
即 n*[1-ln(x)]/(x^2)=0
解得 x=e
即x=e时y=n*ln(x)/x取得唯一的极值y(e)=n/e
又lim(x->+∞) n*ln(x)/x=0
lim(x->0) n*ln(x)/x=－∞
所以y=n*ln(x)/x在x=e时取得的极值是极大值，而且是最大值。
∵f(X)=x^(n/x)＝e^ln[x^(n/x)]=e^[(n/x)*ln(x)]=e^[n*ln(x)/x]=e^y
既然y=n*ln(x)/x在x=e时取得最大值，
∴ f(X)=x^(n/x)也会在x=e时取得最大值。

【注：ln是自然对数符号，lim是极限符号】